【数学】花式解一道积分证明题

证明：

$$\int_{0}^{+\infty} \dfrac{\arctan{x}\ln(1+x^2)}{x(1+x^2)}dx=\dfrac{\pi}{2}\ln^{2}2$$

解法一

留数定理

复数域对数函数的主值分支的定义：

$$\log z = \log |z| + i\arg(z)$$

可以注意到：

$$\log(1+iz)=\log|\sqrt{1+z^2}|+i\arctan(z)=\dfrac{1}{2}\log(1+z^2)+i\arctan(z)$$

而且 $\Im[\log^2(1+iz)]=\arctan(z)\log(1+z^2)$，其中 $\Im(z)$ 表示取$z$的虚部。

如果没有注意到，那么可以采取将 $\arctan z$ 和 $\ln(1+z^2)$ 的复数域形式直接代入原始积分式，同样可以化简出结果

可以化简为：

\begin{align} I &= \int_{0}^{+\infty} \dfrac{\arctan{x}\ln(1+x^2)}{x(1+x^2)}dx\\ &= \dfrac{1}{2}\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{\arctan{x}\ln(1+x^2)}{x(1+x^2)}dx\\ &= \dfrac{1}{2} \Im(\int_{-\infty}^{+\infty}\dfrac{\log^2(1+iz)}{z(z+i)(z-i)})dz\\ \end{align}

考虑下半圆围道（极点是 $z=-i$ ），然后利用留数定理求一下积分：

\begin{align} I &= \dfrac{1}{2} \Im( -2\pi i\lim_{x\to-i}(z+i)\dfrac{\log^2(1+iz)}{z(z+i)(z-i)})\\ &= \dfrac{1}{2} \Im( -2\pi i\dfrac{\log^{2}2}{-2})\\ &= \dfrac{\pi}{2}\ln^22 \end{align}

解法二

费曼积分法（含参积分法）

引入参变量 $a$ , $b$